Problémy tisícročia (angl. Millenium Prize Problems) je pomenovanie pre sedem matematických problémov, ktoré v roku 2000 vyhlásil Clayov matematický inštitút ako najdôležitejšie otvorené problémy súčasnej matematiky.
Uvedomujúc si, že tieto problémy milénia nie sú vôbec jednoduché a tiež ich dôležitosť, Clayov matematický inštitút vypísal za správne riešenie každého problému odmenu jeden milión dolárov.
Hoci jeden z problémov, Poincarého domnienka, v roku 2006 už bol famózne vyriešený ruským matematikom Grigorijom Pereľmanom (rovnako slávnym sa stalo aj jeho odmietnutie oboch cien – milióna dolárov ako aj prestížnej Fieldsovej medaily), zvyšných šesť problémov zostáva stále nevyriešených.
V nasledujúcej časti článku nájdete šesť 6 matematických problémov, tak dôležitých, že riešenie ktoréhokoľvek z nich má hodnotu 1 milión dolárov.
Yangova-Millsova teória a hypotéza hmotnostných rozdielov
Yangove-Millsove rovnice opisujúce správanie elementárnych častíc sú zovšeobecnenou verziou Maxwellových rovníc. Nie sú však formulované ako rigorózna matematická teória, čo je práve požiadavka tohto problému tisícročia. Dôležitou súčasťou tejto teórie je tzv. Hypotéza hmotnostných rozdielov, ktorá sa týka predpokladaných riešení Yangových-Millsových rovníc a vysvetlila by okrem iného, prečo majú elektróny hmotnosť.
Detailnejšie informácie k Yangovej-Millsovej teórii nájdete tu.
Clayov Matematický Inštitút popisuje popisuje tento matematický problém takto.
Riemannova hypotéza
Riemannova hypotéza je jediným doteraz nevyriešeným problémom z Hilbertovho zoznamu. Formuloval ju už v roku 1859 Bernhard Riemann. Hypotéza spája elegantným spôsobom matematickú analýzu a teóriu čísel a má hlboký význam pre rozloženie prvočísel. Tvrdí, že všetky netriviálne nulové body Riemannovy funkcie zeta majú reálnu časť rovnú 1/2.
Detailnejšie informácie k Riemannovej hypotéze nájdete tu.
Clayov Matematický Inštitút popisuje popisuje tento matematický problém takto.
Žeby sa črtalo vyriešenie ďalšieho probému – Riemanovej hypotézy?
Britský matematik Sir Michael Atiyah na konferencii Heidelberg Laureate Forum predstavil dôkaz slávneho matematického problému známeho ako Riemannova hypotéza. Moderná matematika ju radí medzi najväčšie záhady a na vyriešenie sa čaká/lo 160 rokov.
Problém P versus NP
P versus NP je jediný zo siedmich miléniových problémov, ktorý sa týka počítačov. Otázka znie, či je trieda zložitosti NP rovná triede zložitosti P. Inými slovami, či problémy, pre ktoré možno ich riešenie overiť v polynomiálnom čase, možno tiež v polynomiálnom čase vyriešiť. Všeobecne sa súdi, že nie, teda že existujú „ťažké“ problémy, ktorých riešenie nemožno nájsť v polynomiálnom čase. Väčšina matematikov a počítačových vedcov očakáva, že P ≠ NP; zostáva to však dokázať.
Detailnejšie informácie k P vs NP nájdete tu.
Clayov Matematický Inštitút popisuje popisuje tento matematický problém takto.
Je prekvapujúco ťažké vysvetliť, čo sa stane, keď primiešame smotanu do rannej kávy.
Navierove-Stockesove rovnice sú parciálne diferenciálne rovnice, ktoré popisujú prúdenie nestlačiteľnej newtonovskej tekutiny (kvapalín a plynov). Boli formulované už v 19. storočí, rovnicu odvodili Francúz Claude Louis Marie Henri Navier a Ír George Gabriel Stokes v rokoch 1827 a 1845 nezávisle na sebe. Doteraz však nie je jasné, či pre dané počiatočné podmienky existuje ich riešenie. Úspešné vyriešenie tohto problému by napríklad prispelo k porozumeniu turbulencií.
Rovnice sú fluidnou dynamikou troch Newtonových pohybových zákonov. Opisujú, ako sa pri rôznych podmienkach správajú kvapaliny alebo plyny. Asi najznámejším príkladom tekutiny sú vzduch a voda. Rovnako ako druhý zákon Newtonov popisuje, ako sa rýchlosť predmetu zmení pod vplyvom vonkajšej sily, Navierove-Stokesove rovnice opisujú, ako sa rýchlosť toku tekutiny zmení pod vplyvom vnútorných síl, ako je tlak a viskozita, ako aj vonkajšej sily gravitácie.
Navier-Stokesove rovnice sú systémom diferenciálnych rovníc. Diferenciálne rovnice popisujú, ako sa určitá veličina mení v priebehu času, vzhľadom na niektoré počiatočné východiskové podmienky a sú užitočné pri opise všetkých druhov fyzických systémov. V prípade Navier-Stokesovej rovnice začíname s určitým počiatočným prietokom tekutiny a diferenciálne rovnice opisujú, ako sa tok ďalej vyvíja.
Riešenie diferenciálnej rovnice znamená nájsť nejaký matematický vzorec na určenie toho, ako sa vyvíja určitá veličina v ktoromkoľvek konkrétnom čase. Mnoho fyzikálnych systémov opísaných diferenciálnymi rovnicami, ako je vibrácia gitarovej struny alebo tok tepla z horúceho objektu do studeného objektu, má dobre známe tohto typu riešenia.
Navierove-Stokesove rovnice sú však ťažšie. Matematicky sa nástroje, ktoré sa používajú na vyriešenie iných diferenciálnych rovníc, nepotvrdili ako užitočné. Fyzicky môžu tekutiny vykazovať chaotické a turbulentné správanie: dym vychádzajúci zo sviečky alebo cigarety má sklon spočiatku plynulý a predvídateľný, ale rýchlo sa dostáva do nepredvídateľných vírov a závitov.
Je možné, že tento druh turbulentného a chaotického správania znamená, že Navierove-Stokesove rovnice v skutočnosti nie je možné presne vo všetkých prípadoch vyriešiť. Mohlo by byť možné vytvoriť nejakú idealizovanú matematickú kvapalinu, na základe rovníc, ktorá sa nakoniec stane nekonečne turbulentnou.
Ktokoľvek, kto dokáže vytvoriť spôsob riešenia rovníc Navier-Stokes vo všetkých prípadoch, alebo ukáže príklad, kde nemožno vyriešiť rovnice, získal cenu milénia za tento problém.
Detailnejšie informácie k Navierovým-Stokesovým rovniciam nájdete tu.
Clayov Matematický Inštitút popisuje tento matematický problém takto.
Ak vás zaujíma tento matematický problém viac, tak profesor Jim Denier (University of Adelaide) vysvetľuje tému riešenia detailnejšie tu.
Hodgeova domnienka
Hodgeova domnienka sa týka topológie a tvrdí, že pre projektívne algebraické variety sú Hodgeovy cykly racionálne lineárne kombináciou algebraických cyklov.
Detailnejšie informácie k Hodgeovej domnienke nájdete tu.
Clayov Matematický Inštitút popisuje popisuje tento matematický problém takto.
Birchova a Swinnerton-Dyerova domnienka
Táto domnienka tvrdí, že pre istý typ rovníc existuje relatívne jednoduchý spôsob, ako určiť, či má daná rovnica konečný, alebo nekonečný počet riešení v racionálnych číslach. Pre všeobecné diofantické rovnice bolo dôkazom Matijasevičovej vety preukázané, že nemožno dokonca ani určiť, či rovnica má vôbec nejaké riešenie.
Detailnejšie informácie k Birchovej a Swinnerton-Dyerovej teórii nájdete tu.
Clayov Matematický Inštitút popisuje popisuje tento matematický problém takto.
